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Eulersche Knicklast / Eigenwertbestimmung: anschaulich erklären / verstehen 17 Feb 2021 12:56 #70361

Und wenn der Stab schon bei einer Auslenkung von l/100 versagt ?

Die Eulersche Knicklast ergibt sich nach der Elastizitätstheorie aus dem Zusammenhang zwischen Biegelinie und Normalkraft.
S. o.

In Weiterführung der gesendeten Seite ergeben sich die Eigenwerte aus sin(a*l)=0.
mit a=sqrt(P/(E*I))
a*l kann die Werte 0 und n*pi annehmen.
Für n=1 ergibt sich
P=(pi^2*E*I)/(l^2) = Eulefall II
So weit so gut, denn in der Knicklast ist nicht die Plastifizierung des Materials berücksichtigt. Das bedeutet, der Stab kann schon unterhalb der Knicklast kaputt gehen.
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Letzte Änderung: von Megapond.

Eulersche Knicklast / Eigenwertbestimmung: anschaulich erklären / verstehen 17 Feb 2021 13:32 #70362

Megapond schrieb: Und wenn der Stab schon bei einer Auslenkung von l/100 versagt ?

usererror ;)
Markus L. Sollacher, Berat. Ing. BYIK
mlsollacherATt-onlinePUNKTde
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Eulersche Knicklast / Eigenwertbestimmung: anschaulich erklären / verstehen 17 Feb 2021 14:34 #70364

necke schrieb: ....
Wie lässt es sich physikalisch und mathematisch verbal erklären, wie ein perfekt mittig belasteter Druckstab ohne jegliche Imperfektion "einfach so" ab einer Gewissen Normalkraft in einen oben beschrieben kritischen Gleichgewichtszustand kommt? ...

Es geht nicht nur darum, wie exakt der Stab hergestellt wird, es geht vor allem darum, wie steif er (bzw. das System) ist und wie steif das System in den angenommenen Haltepunkten ist.
Um sich damit auseinanderzusetzen löst man am besten erstmal die folgenden Beispiele, für exakt gerade Stäbe.

Das einfachste Beispiel, ist der steife Pendelstab, der oben durch eine
seitliche Feder gehalten wird (Wand mit Halterung durch einen Ringbalken).
(Eine Aufgabe, über die viele Ingenieure nicht nachdenken, warum wohl?).

Den Stab fasst man gedanklich an (oder der Wind üübernimmt diese Aufgab), lenkt ihn aus und lässt ihn wieder los.
Jetzt gibt es 3 Möglichkeiten:
- der Stab schnellt zurück,
- er kehrt nicht in die Ausgangslage zurück, sondern weicht weiter aus,
- er verbleibt in der ausgelenkten Lage.

Jetzt kann man die Kraft Fki ermitteln, bei der der Stab (theoretisch)
in der ausgelenkten Lage verbleibt (Federsteifigkeit k, Stablänge L).
Die Biegesteifigkeit soll so hoch sein, dass der Stab gerade bleibt
(kein Eulerfall 2).
An dieser simplen Aufgabe kann man viel sehen und verstehen, aber man muss es rechnen (eine Zeile).
Wie groß ist Fki?

===
Um den mathematischen Hintergrund zu verstehen
(mir ist nicht ganz klar, ob das der Kern Deiner Frage ist),
betrachtet und löst man am besten das Beispiel mit zwei übereinanderstehenden
Pendelstäben, die oben und in der Mitte durch eine horizontale Feder gehalten werden.
Es ergibt sich ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und man kann sich damit
die mathematischen Begriffe Eigenwert, Eigenvektor, Eigenform usw. veranschaulichen.
Das Zahleneispiel ist sehr einfach zu rechnen.

Zur weiteren Übung baut man in der Mitte des Stabes eine Drehfeder ein, so kommt man dann zum Eulerstab.
Fürs Geldverdienen braucht man nur die Formeln,
fürs Verständnis muss man rechnen und die Annahmen hinterfragen.

es
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Letzte Änderung: von prostab.

Eulersche Knicklast / Eigenwertbestimmung: anschaulich erklären / verstehen 17 Feb 2021 18:51 #70365

Hier noch ein Versuch:

Der ideal gerade Stab knickt nicht, weil er gar nicht weiß und merkt, dass es diesen Zustand des Knickens gibt - egal wie hoch die Last ist.
Die Formeln, die das Knicken beschreiben, gehen davon aus, dass eine Verformung (ausgelöst durch was auch immer) bereits eingetreten ist, der Stab also nicht mehr ideal gerade ist.
Sie sind eher ein Modell als eine reale Situation.
Dann entsteht durch die Verformung im Stab ein Biegemoment, durch das die Verformung weiter ansteigt. Damit steigt das Biegenmoment, dadurch die Verformung usw. usf.

Bei Lasten unterhalb der Knicklast strebt dieses Spiel gegen einen Grenzwert. Bei Lasten oberhalb der Knicklast läuft es gegen unendlich und das System versagt...

Vielleicht hilft das...
Schönen Abend!
Diego

PS. Das Modell ist ein ideal gerader Stab mit zentrischem Druck.
Den lenkst du aus und lässt ihn wieder los.
Wenn die Druckkraft kleiner als die Knicklast ist, springt er wieder zurück in die Ausgangslage.
Wenn die Druckkraft größer als die Knicklast ist, versagt er.
Wenn die Druckkraft gleich der Kinicklast ist, bleibt er da, wohin du ihn ausgelenkt hast.
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Letzte Änderung: von diego.

Eulersche Knicklast / Eigenwertbestimmung: anschaulich erklären / verstehen 17 Feb 2021 19:58 #70367

@Fragesteller:
Suche im Internet nach "Herleitung europäische Knickspannungslinien" oder "Herleitung Ersatzstabnachweis"
Dort sollte im Zuge der Herleitung die Verbindung zwischen: Ideelle Knickspannung (bzw ideelle Knicklast) - Ersatzimperfektionen (Vorverformungen etc) - und Materialverhalten (Plastifizierung, Festigkeit usw) in einem Zusammenhang gebracht werden

Wenn man das Verstanden hat, hat man (will ich mal behaupten) fast alle Stabilitätsnachweise im EuroKot vom Prinzip her verstanden


PS: Ich bin gerade zu faul meine alten Studien-Unterlagen zu suchen, was sicher damit zusammenhängt dass ich Mitte der Woche das Wochenarbeitspensum bereits hinter mir habe :sick:
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Eulersche Knicklast / Eigenwertbestimmung: anschaulich erklären / verstehen 18 Feb 2021 07:48 #70368

Vielen lieben Dank für eure ausführlichen Antworten - das hat mir wirklich sehr weitergeholfen.

Ich werde mir bei Zeiten mal alles mal genauer anschauen, sowohl die Handrechenaufgaben zum Nachvollziehen der Eigenewerte, die Lastverformungskurven nach Th.2.Ordnung ..


Ihr seid super!

LG

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